Question

【題目】已知y=f（x）是定義在（－∞，+∞）上的奇函數(shù)，且在［0，+∞）上為增函數(shù)，

（1）求證：函數(shù)在（－∞，0）上也是增函數(shù)；

（2）如果f（）=1，解不等式－1＜f（2x+1）≤0．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）{x｜－＜x≤－}．

【解析】

（1）設(shè)，且，根據(jù)單調(diào)性的定義，結(jié)合函數(shù)奇偶性，即可得證；

（2）根據(jù)是R上的奇函數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，得到，即可求解.

（1）設(shè)x1、x2是（－∞，0］上任意兩個不相等的實數(shù)，且x1＜x2，

則－x1，－x2∈［0，+∞），且－x1＞－x2，Δx=x2－x1＞0，Δy=f（x2）－f（x1）．

因為f（x）是奇函數(shù)，且在［0，+∞）上是增函數(shù)，－x1＞－x2，

所以f（－x1）＞f（－x2）．

又因為f（x）為奇函數(shù)，所以f（－x1）=－f（x1），f（－x2）=－f（x2），

所以－f（x1）＞－f（x2），即f（x1）＜f（x2），

即Δy=f（x2）－f（x1）＞0，

所以函數(shù)f（x）在（－∞，0］上也是增函數(shù)．

（2）因為f（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，f（－）=－f（）=－1，

由－1＜f（2x+1）≤0，得f（－）＜f（2x+1）≤f（0）．

又因為f（x）在（－∞，0）上是增函數(shù)，所以－＜2x+1≤0，解得－＜x≤－，

所以不等式的解集為{x｜－＜x≤－}．