Question

15．（拉普拉斯（Laplace）分布）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為
f（x）=Ae^-|x|，-∞＜x＜+∞
求：
（1）系數(shù)A；
（2）隨機(jī)變量X落在區(qū)間（0，1）內(nèi)的概率；
（3）隨機(jī)變量X的分布函數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)（拉普拉斯（Laplace）分布）即可求出答案．

解答 解：（1）由${∫}_{-∞}^{+∞}$f（x）dx=1，
得${∫}_{-∞}^{+∞}$Ae^-|x|dx=2A${∫}_{0}^{+∞}$e^-xdx=2A=1，
解得A=$\frac{1}{2}$，即有f（x）=$\frac{1}{2}$e^-|x|，（-∞＜x＜+∞）．
（2）P（0＜X＜1）=${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=$\frac{1}{2}$${∫}_{0}^{1}$e^-xdx=$\frac{1}{2}$（-e^-x|${\;}_{0}^{1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{e}$），
（3）隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x）=${∫}_{-∞}^{+∞}$f（x）dx=$\frac{1}{2}$${∫}_{-∞}^{+∞}$e^-xdx=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{e}^{x}，x≤0}\\{1-\frac{1}{2}{e}^{-x}，x＞0}\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了隨機(jī)變量的分步函數(shù)以及連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度，屬于基礎(chǔ)題．