Question

14．在斜三角形ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=1，則．$\frac{sin^2A+sin^2B}{sin^2C}$的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． 3
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡已知可得$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}=\frac{cosC}{sinC}$，由正弦定理與余弦定理得$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bca}$+$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2acb}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2abc}$，解得$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{c}^{2}}$=3，由正弦定理即可得解．

解答 解：在斜三角形ABC中，由題設(shè)知：$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=1，可得：$\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}=\frac{1}{tanC}$，
∴$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}=\frac{cosC}{sinC}$，
∴由正弦定理與余弦定理得$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bca}$+$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2acb}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2abc}$，
∴整理解得：$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{c}^{2}}$=3，
∴由正弦定理可得：$\frac{sin^2A+sin^2B}{sin^2C}$=3．
故選：B．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．