Question

5．函數y=$\frac{2x-1}{x+1}$（x＞0）的值域為（-1，2），函數f（x）=$\frac{ax-1}{x+1}$在（-∞，-1）上是減函數，則a的取值范圍是a＜-1．

Answer 1

分析 確定y=$\frac{2x-1}{x+1}$=2-$\frac{3}{x+1}$在（0，+∞）單調遞增，即可求出函數y=$\frac{2x-1}{x+1}$（x＞0）的值域；根據題意可y=-$\frac{a+1}{x+1}$，在（-∞，-1）上是減函數，y=$\frac{a+1}{x+1}$，在（-∞，-1）上是增函數，可得a+1＜0，由此求得a的范圍．

解答 解：y=$\frac{2x-1}{x+1}$=2-$\frac{3}{x+1}$在（0，+∞）單調遞增，
∴函數y=$\frac{2x-1}{x+1}$（x＞0）的值域為（-1，2）；
∵函數f（x）=$\frac{ax-1}{x+1}$=a-$\frac{a+1}{x+1}$，在（-∞，-1）上是減函數，
∴y=-$\frac{a+1}{x+1}$，在（-∞，-1）上是減函數，∴y=$\frac{a+1}{x+1}$，在（-∞，-1）上是增函數，
∴a+1＜0，求得a＜-1，
故答案為：（-1，2）；a＜-1．

點評 本題考查了運用函數的單調性求解函數的值域，關鍵是變形，判斷單調性，難度不大．