Question

7．設函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c，給出下列四個命題：
①當c=0時，y=f（x）是奇函數(shù)；
②當b=0，c＞0時，函數(shù)y=f（x）只有一個零點；
③函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱；
④函數(shù)y=f（x）至多有兩個零點．
其中正確命題的序號為①②③．

Answer 1

分析 ①利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷．②當b=0時，得f（x）=x|x|+c在R上為單調(diào)增函數(shù)，方程f（x）=0只有一個實根．
③利用函數(shù)圖象關于點對稱的定義，可證得函數(shù)f（x）圖象關于點（0，c）對稱．
④舉出反例如c=0，b=-2，可以判斷．

解答 解：①當c=0時，函數(shù)f（x）=x|x|+bx為奇函數(shù)，故①正確．
②b=0，c＞0時，得f（x）=x|x|+c在R上為單調(diào)增函數(shù)，且值域為R，故函數(shù)y=f（x）只有一個零點，故②正確．
③因為f（-x）=-x|x|-bx+c，所以f（-x）+f（x）=2c，可得函數(shù)f（x）的圖象關于點（0，c）對稱，故③正確．
④當c=0，b=-2，f（x）=x|x|-2x=0的根有x=0，x=2，x=-2，故④錯誤．
故答案為：①②③．

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性、對稱性、單調(diào)性以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．對函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的充分理解，并用于二次函數(shù)當中，是解決本題的關鍵．