Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，其中a₁=25，a₄=16
（1）求數(shù)列前n項(xiàng)和S_n的最大值及相應(yīng)的n；
（2）求|a₁|+|a₃|+|a₅|+…+|a₁₉|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出公差d=-3，從而求出S_n=-

3

2

n2+

53

2

n=-

3

2

(n-

53

6

)2+

8427

72

，由此能求出n=9時(shí)，數(shù)列前n項(xiàng)和S_n取最大值S  9=117．
（2）a_n=25+（n-1）×（-3）=28-3n，由a_n=28-3n≥0，得n≤

28

3

，從而a₈＞0，a₉＜0，由此能求出|a₁|+|a₃|+|a₅|+…+|a₁₉|的值．

解答： 解：（1）∵{a_n}是等差數(shù)列，a₁=25，a₄=16
∴25+3d=16，解得d=-3，
∴S_n=25n+

n(n-1)

2

×(-3)=-

3

2

n2+

53

2

n=-

3

2

(n-

53

6

)2+

8427

72

，
∴n=9時(shí)，數(shù)列前n項(xiàng)和S_n取最大值S  9=117．
（2）a_n=25+（n-1）×（-3）=28-3n，
由a_n=28-3n≥0，得n≤

28

3

，
∴a₈＞0，a₉＜0，
設(shè)|a₁|+|a₃|+|a₅|+…+|a₁₉|的值為T(mén)_n，
當(dāng)n≤8時(shí)，T_n=S_n=-

3

2

n2+

53

2

n，
當(dāng)n≥9時(shí)，T_n=2S₈-S_n=

3

2

n2-

53

2

n+232．
|a₁|+|a₃|+|a₅|+…+|a₁₉|的值為：

- 3 2 n2+ 53 2 n，n≤8 3 2 n2- 53 2 n+232，n≥9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列前n項(xiàng)和S_n的最大值及相應(yīng)的n的求法，考查|a₁|+|a₃|+|a₅|+…+|a₁₉|的值的求法，解題時(shí)要注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．