Question

某班有12名男生和18名女生參加綜合素質(zhì)測試，所得分數(shù)的莖葉圖如圖，若成績在75分以上（包括75分）定義為“優(yōu)秀”，成績在75分以下（不包括75分）定義為“非優(yōu)秀”．
（Ⅰ）如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“非優(yōu)秀”中共抽取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少？
（Ⅱ）若從所有“優(yōu)秀”中選3人參加綜合素質(zhì)展示活動，用ξ表示所選學生中女生的人數(shù)，寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,莖葉圖,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖，有“優(yōu)秀”12人，“非優(yōu)秀”18人．用分層抽樣的方法，選中的“優(yōu)秀”有2人，“非優(yōu)秀”有3人．由此能求出至少有一人是“優(yōu)秀”的概率．
（Ⅱ）依題意，ξ的取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖，有“優(yōu)秀”12人，“非優(yōu)秀”18人．
用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是

5

30

=

1

6

，
所以選中的“優(yōu)秀”有12×

1

6

=2人，“非優(yōu)秀”有18×

1

6

=3人．
用事件A表示“至少有一名“優(yōu)秀”被選中”，
則它的對立事件

.

A

表示“沒有一名“優(yōu)秀”被選中”，
則P（A）=1-

C 2 3

C 2 5

=1-

3

10

=

7

10

．
因此，至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是

7

10

．
（另解：P(A)=

C 1 2 C 1 3 + C 2 2

C 2 5

=

7

10

） …（6分）
（Ⅱ）依題意，ξ的取值為0，1，2，3，
則P（ξ=0）=

C 3 8

C 3 12

=

14

55

，P（ξ=1）=

C 1 4 C 2 8

C 3 12

=

28

55

，
P（ξ=2）=

C 2 4 C 1 8

C 3 12

=

12

55

，P（ξ=3）=

C 3 4

C 3 12

=

1

55

．
因此，ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	14 55	28 55	12 55	1 55

∴Eξ=0×

14

55

+1×

28

55

+2×

12

55

+3×

1

55

=1．…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查注意離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．