【題目】如圖所示的三棱柱中，平面，，，的中點(diǎn)為，若線段上存在點(diǎn)使得平面.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)的長為，分別以，，的方向?yàn)?/span>，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，求得，利用平面列方程即可求得，問題得解。

（Ⅱ）求出平面的法向量為，結(jié)合（Ⅰ）中是平面的一個法向量，利用法向量的夾角坐標(biāo)表示即可求解。

解：（Ⅰ）方法一：設(shè)的長為，依題意可知，，兩兩垂直，分別以，，的方向?yàn)?/span>，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則，，，，，，

因此，，.設(shè)，易求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以.

因?yàn)?/span>平面，所以.

解之得，所以的長為.

方法二：如圖，在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線分別交和于，，連接，在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線交于，連接.

依題意易得，五點(diǎn)共面.

因?yàn)?/span>平面，所以.①

在中，，，因此為線段靠近的三等分點(diǎn).

由對稱性知，為線段靠近的三等分點(diǎn)，因此，.

代入①，得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）方法一可知，是平面的一個法向量且，.

設(shè)平面的法向量為，則可以為.

.

因?yàn)槎娼?/span>為銳角，故所求二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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組

組

組

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