Question

10．已知f₁（x）=sin x+cos x，記f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n（x）=f_n-1′（x）（n∈N^*，n≥2），則f₁（$\frac{π}{2}$）+f₂（$\frac{π}{2}$）+…+f₂₀₁₇（$\frac{π}{2}$）=1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，先求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x），觀察所求的結(jié)果，歸納其中的周期性規(guī)律，求解即可．

解答 解：根據(jù)題意，f₁（x）=sin x+cos x，
f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=（cosx-sinx）′=-sinx-cosx，
f₄（x）=-cosx+sinx，
f₅（x）=sinx+cosx，
以此類推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
又f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
則f₁（$\frac{π}{2}$）+f₂（$\frac{π}{2}$）+…+f₂₀₁₇（$\frac{π}{2}$）=f₁（$\frac{π}{2}$）=1；
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，關(guān)鍵是通過計(jì)算導(dǎo)數(shù)，發(fā)現(xiàn)變形的規(guī)律．