Question

5．已知函數(shù)f（x）=（x-a）²（x-b）（a，b∈R，a＜b）．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）設(shè)x₁，x₂是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，x₃是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，且x₃≠x₁，x₃≠x₂．證明：存在實(shí)數(shù)x₄，使得x₁，x₂，x₃，x₄按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列，并求x₄．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（2），f′（2），求出切線方程即可；（2）求出函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出x₄即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，因?yàn)閒′（x）=（x-1）（3x-5），
故f′（2）=1，又f（2）=0，
所以f（x）在點(diǎn)（2，0）處的切線方程為y=x-2．
（2）證明：因?yàn)閒′（x）=3（x-a）（x-$\frac{a+2b}{3}$），
由于a＜b，故a＜$\frac{a+2b}{3}$，
所以f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為x=a或x=$\frac{a+2b}{3}$，
不妨設(shè)x₁=a，x₂=$\frac{a+2b}{3}$，
因?yàn)閤₃≠x₁，x₃≠x₂，且x₃是f（x）的零點(diǎn)，故x₃=b，
又因?yàn)?\frac{a+2b}{3}$-a=2（b-$\frac{a+2b}{3}$），x₄=$\frac{1}{2}$（a+$\frac{a+2b}{3}$）=$\frac{2a+b}{3}$，
此時(shí)a，$\frac{2a+b}{3}$，$\frac{a+2b}{3}$，b依次成等差數(shù)列，
所以存在實(shí)數(shù)x₄滿足題意，且x₄=$\frac{2a+b}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及等差數(shù)列的性質(zhì)，是一道中檔題．