Question

在數(shù)1和2之間插入n個(gè)正數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記為A_n，令a_n=log₂A_n，n∈N^*．
（1）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

 

；
（2）T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù),等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）設(shè)在數(shù)1和2之間插入n個(gè)正數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增等比數(shù)列為{b_n}，則利用等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式求得A_n的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）可得a_n=

n+2

2

，根據(jù)tan1=tan[（n+1）-1]=

tan(n+1)-tann

1+tan(n+1)tann

，可得tan（n+1）tann=

tan(n+1)-tann

tan1

-1，由此化簡T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2 =（

tan3-tan2

tan1

-1）+（

tan4-tan3

tan1

-1）+（

tan5-tan4

tan1

-1）+…+（

tan(n+2)-tan(n+1)

tan1

-1），可得結(jié)果．

解答： 解：（1）設(shè)在數(shù)1和2之間插入n個(gè)正數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增等比數(shù)列為{b_n}，
則 b₁=1，b_n+2=2=1×qⁿ⁺¹，即 qⁿ⁺¹=2，q為此等比數(shù)列的公比．
∴A_n=1•q•q²•q³…qⁿ⁺¹=q^{1+2+3+…+（n+1）}=q

(n+1)(n+2)

2

=( qn+1)

n+2

2

=2

n+2

2

，
∴a_n=log₂A_n=

n+2

2

，
故答案為：

n+2

2

．
（2）由（1）可得a_n=log₂A_n=

n+2

2

，又tan1=tan[（n+1）-1]=

tan(n+1)-tann

1+tan(n+1)tann

，∴tan（n+1）tann=

tan(n+1)-tann

tan1

-1，
∴tana_2n•tana_2n+2=tan（n+1）tan（n+2）═

tan(n+2)-tan(n+1)

tan1

-1，n∈N^*．
T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2 =（

tan3-tan2

tan1

-1）+（

tan4-tan3

tan1

-1）+（

tan5-tan4

tan1

-1）+…+（

tan(n+2)-tan(n+1)

tan1

-1）
=

tan(n+2)-tan2

tan1

-n，n∈N^*，
故答案為：

tan(n+2)-tan2

tan1

-n．

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于中檔題．