Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|=4，則|BF|=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l．如圖所示，分別過點(diǎn)A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足為M，N．過點(diǎn)B作BC⊥AM交于點(diǎn)C．由拋物線的定義可得：|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．由于AM∥x軸，∠BAC=∠AFx=60°．在Rt△ABC中，|AC|=

1

2

|AB|．化簡即可得出．

解答： 解：設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l：x=-

p

2

．
如圖所示，分別過點(diǎn)A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足為M，N．
過點(diǎn)B作BC⊥AM交于點(diǎn)C．
則|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．
∵AM∥x軸，
∴∠BAC=∠AFx=60°．
在Rt△ABC中，|AC|=

1

2

|AB|
又|AM|-|BN|=|AC|，
∴|AF|-|BF|=

1

2

（|AF|+|BF|），
化為|AF|=3|BF|
∵|AF|=4，
∴|BF|=

4

3

或12．
故答案為：

4

3

或12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的定義、含60°角的直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，考查了輔助線的作法，屬于中檔題．