分析 以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角P-BC-D的余弦值.
解答 (本小題滿分12分)
解:∵棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,
PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=$2\sqrt{2}$.
∴以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),
$\overrightarrow{BC}$=(0,2,0),$\overrightarrow{BP}$=(-2,0,2),
$\overrightarrow{BD}$=(-2,2,0),
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,0,1),
設(shè)平面BCD的法向量$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-2a+2b=0}\end{array}\right.$,取a=1,得$\overrightarrow{m}$=(1,1,0),
設(shè)二面角P-BC-D的平面角為θ,
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$,
∴二面角P-BC-D的余弦值為$\frac{1}{2}$.
點(diǎn)評 本題考查二面角的余弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2+i | B. | 2-i | C. | -2-i | D. | -2+i |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-$\frac{1}{3}$,1) | B. | (-∞,-$\frac{1}{3}$) | C. | (0,$\frac{1}{3}$) | D. | (1,+∞) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 零個(gè) | B. | 一個(gè) | C. | 兩個(gè) | D. | 無數(shù)個(gè) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
x | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 | 5.22 | 5.97 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{m}{n}$ | B. | $\frac{2m}{n}$ | C. | $\frac{4m}{n}$ | D. | $\frac{6m}{n}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?0分 | |
B. | 分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同 | |
C. | 分?jǐn)?shù)在110以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同 | |
D. | 該市這次考試的數(shù)學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差為10 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2017屆湖北省協(xié)作校高三聯(lián)考一數(shù)學(xué)(文)試卷(解析版) 題型:解答題
已知集合,集合
.
(1)若,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得
?若存在,求出
的值;若不存在,請說明理由.
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