15.如圖,棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=$2\sqrt{2}$.求二面角P-BC-D余弦值的大小.

分析 以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角P-BC-D的余弦值.

解答 (本小題滿分12分)
解:∵棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,
PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=$2\sqrt{2}$.
∴以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),
$\overrightarrow{BC}$=(0,2,0),$\overrightarrow{BP}$=(-2,0,2),
$\overrightarrow{BD}$=(-2,2,0),
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,0,1),
設(shè)平面BCD的法向量$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-2a+2b=0}\end{array}\right.$,取a=1,得$\overrightarrow{m}$=(1,1,0),
設(shè)二面角P-BC-D的平面角為θ,
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$,
∴二面角P-BC-D的余弦值為$\frac{1}{2}$.

點(diǎn)評 本題考查二面角的余弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.

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10.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸)標(biāo)準(zhǔn)煤的幾組對照數(shù)據(jù):
x345678
y2.5344.55.225.97
(1)請根據(jù)上表提供的前四列數(shù)據(jù)(對應(yīng)的x=3,4,5,6),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$
(2)在誤差不超過0.05的條件下,利用x=7時(shí),x=8來檢驗(yàn)(1)所求回歸直線是否合適;
(3)已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤,試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?
(參考公式:$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$)

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20.在正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)生成n個(gè)點(diǎn),其中在正方形ABCD內(nèi)切圓內(nèi)的點(diǎn)共有m個(gè),利用隨機(jī)模擬的方法,估計(jì)圓
周率π的近似值為( 。
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(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)將f(x)的圖象上所有點(diǎn)向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位,再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{3}{2}$倍,得到g(x)的圖象,討論g(x)在$[{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}]$上的單調(diào)性.

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