【題目】已知橢圓與y軸的正半軸相交于點M，且橢圓E上相異兩點A、B滿足直線MA,MB的斜率之積為．

（Ⅰ）證明直線AB恒過定點，并求定點的坐標；

（Ⅱ）求三角形ABM的面積的最大值．

【答案】（1）直線恒過定點．（2）

【解析】試題分析：利用設而不求思想設出點的坐標，首先考慮 直線斜率不存在的情況，然后研究直線斜率存在的一般情況，設出直線斜截式方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，代入整理后寫出根與系數(shù)關系，根據(jù)MA、MB的斜率之積為，代入，解出，得出直線過定點，第二步聯(lián)立方程組后利用判別式大于零，求出k的范圍，表示三角形的面積，利用基本不等式求出最值 .

試題解析：

解：（Ⅰ）由橢圓的方程得，上頂點,記 由題意知， ，若直線的斜率不存在，則直線的方程為，故，且，因此，與已知不符，因此直線的斜率存在，設直線： ，代入橢圓的方程得： ………①

因為直線與曲線有公共點，所以方程①有兩個非零不等實根，

所以，

又， ，

由 ，得

即

所以

化簡得： ，故或，

結合知，

即直線恒過定點．

（Ⅱ）由且得： 或，

又

，當且僅當，即 時， 的面積最大，最大值為 ．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面四邊形ABCD中，△BCD是正三角形，AB=AD=1，∠BAD=θ．
（Ⅰ）將四邊形ABCD的面積S表示成關于θ的函數(shù)；
（Ⅱ）求S的最大值及此時θ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】猜商品的價格游戲， 觀眾甲： 主持人：高了! 觀眾甲： 主持人：低了! 觀眾甲： 主持人：高了! 觀眾甲： 主持人：低了! 觀眾甲： 主持人：低了! 則此商品價格所在的區(qū)間是 （ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)的定義域為，對給定的正數(shù)，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：①在內是單調函數(shù)；②在上的值域為，則稱區(qū)間為的級“理想?yún)^(qū)間”.下列結論錯誤的是（ ）

A. 函數(shù)（）存在1級“理想?yún)^(qū)間”

B. 函數(shù)（）不存在2級“理想?yún)^(qū)間”

C. 函數(shù)（）存在3級“理想?yún)^(qū)間”

D. 函數(shù)， 不存在4級“理想?yún)^(qū)間”

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

以直角坐標系的原點為極點， 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，且兩坐標系有相同的長度單位.已知點的極坐標為， 是曲線： 上任意一點，點滿足，設點的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）若過點的直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），且直線與曲線交于， 兩點，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分，（1）小問7分，（2）小問5分）

設函數(shù)

（1）若在處取得極值，確定的值，并求此時曲線在點處的切線方程；

（2）若在上為減函數(shù)，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

已知直線的極坐標方程為），圓的參數(shù)方程為： （其中為參數(shù)）.

（1）判斷直線與圓的位置關系；

（2）若橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過圓的圓心且與直線垂直的直線與橢圓相交于兩點，求.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿著同一條直線航行，某一時刻，甲船在最前面的點處，乙船在中間點處，丙船在最后面的點處，且.一架無人機在空中的點處對它們進行數(shù)據(jù)測量，在同一時刻測得， .（船只與無人機的大小及其它因素忽略不計）

（1）求此時無人機到甲、丙兩船的距離之比；

（2）若此時甲、乙兩船相距100米，求無人機到丙船的距離.（精確到1米）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知是直線上任意一點，過作，線段的垂直平分線交于點.

(Ⅰ)求點的軌跡對應的方程；

(Ⅱ)過點的直線與點的軌跡相交于兩點，（ 點在軸上方），點關于軸的對稱點為，且，求的外接圓的方程.

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