Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²+$\frac{a}{x}$（x≠0，a∈R）
（1）當a=0時，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知得函數(shù)f（x）=x²（x≠0，a∈R），根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可判斷出f（x）=x²為偶函數(shù)；
（2）根據(jù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，可得當x₂＞x₁≥2，f（x₁）-f（x₂）＜0，由此構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）a=0時，f（x）=x²，顯然f（-x）=f（x），定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點對稱，
故f（x）是偶函數(shù)；
（2）設x₂＞x₁≥2，f（x₁）-f（x₂）=${{x}_{1}}^{2}$+$\frac{a}{{x}_{1}}$-${{x}_{2}}^{2}$-$\frac{a}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}-x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$[x₁x₂（x₁+x₂）-a]，
由x₂＞x₁≥2得x₁x₂（x₁+x₂）＞16，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
要使f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)只需f（x₁）-f（x₂）＜0，
即x₁x₂（x₁+x₂）-a＞0恒成立，則a≤16．
另解（導數(shù)法）：f′（x）=2x-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
要使f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)，
只需當x≥2時，f'（x）≥0恒成立，即2x-$\frac{a}{{x}^{2}}$≥0，
則a≤2x³∈[16，+∞）恒成立，
故當a≤16時，f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義，將已知轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)a的方程（不等式）是解答本題的關(guān)鍵．