2.(1)若a>b>0,求證:$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$>$\frac{a-b}{a+b}$;
(2)若a>0,b<0,且a+b=1,求$\frac{4}{a}+\frac{a}$的最小值.

分析 (1)利用分析法證明即可;
(2)靈活利用“1”,根據(jù)基本不等式即可求出答案.

解答 證明:(1)a>b>0,
要證:$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$>$\frac{a-b}{a+b}$,
只要證$\frac{a+b}{{a}^{2}+^{2}}$>$\frac{1}{a+b}$,
只要證(a+b)2>a2+b2,
只要證2ab>0,顯然成立,
故$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$>$\frac{a-b}{a+b}$,
解:(2)∵a+b=1,
∴$\frac{4}{a}+\frac{a}$=$\frac{4(a+b)}{a}$+$\frac{a}$=4+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}$≥4+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}}$=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{2}{3}$,b=$\frac{1}{3}$時(shí)取等號,
∴$\frac{4}{a}+\frac{a}$的最小值8.

點(diǎn)評 本題考查了分析法證明不等式和基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題

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