Question

2．（1）若a＞b＞0，求證：$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$＞$\frac{a-b}{a+b}$；
（2）若a＞0，b＜0，且a+b=1，求$\frac{4}{a}+\frac{a}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用分析法證明即可；
（2）靈活利用“1”，根據(jù)基本不等式即可求出答案．

解答 證明：（1）a＞b＞0，
要證：$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$＞$\frac{a-b}{a+b}$，
只要證$\frac{a+b}{{a}^{2}+^{2}}$＞$\frac{1}{a+b}$，
只要證（a+b）²＞a²+b²，
只要證2ab＞0，顯然成立，
故$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$＞$\frac{a-b}{a+b}$，
解：（2）∵a+b=1，
∴$\frac{4}{a}+\frac{a}$=$\frac{4（a+b）}{a}$+$\frac{a}$=4+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}$≥4+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}}$=8，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{1}{3}$時(shí)取等號，
∴$\frac{4}{a}+\frac{a}$的最小值8．

點(diǎn)評 本題考查了分析法證明不等式和基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題