Question

1．已知函數(shù)f（x）=|lnx|，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，0＜x≤1}\\{|{x}^{2}-4|-2，x＞1}\end{array}\right.$則方程|f（x）-g（x）|=2的實(shí)根個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 當(dāng)0＜x≤1時(shí)，化簡方程|f（x）-g（x）|=2為|lnx|=2，方程有1實(shí)根；當(dāng)x＞1時(shí)，方程|f（x）-g（x）|=2為||lnx|-|x²-4|+2|=2，整理得|x²-4|=lnx或|x²-4|=lnx+4．
令${y}_{1}=|{x}^{2}-4|$，y₂=lnx，y₃=lnx+4．作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：當(dāng)0＜x≤1時(shí)，方程|f（x）-g（x）|=2為|lnx|=2，解得x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，方程有1實(shí)根；
當(dāng)x＞1時(shí)，方程|f（x）-g（x）|=2為||lnx|-|x²-4|+2|=2，即|lnx-|x²-4|+2|=2，
∴||x²-4|-lnx-2|=2，去絕對(duì)值得：|x²-4|=lnx或|x²-4|=lnx+4．
令${y}_{1}=|{x}^{2}-4|$，y₂=lnx，y₃=lnx+4．
作出函數(shù)圖象如圖：

由圖可知，方程|x²-4|=lnx有2實(shí)根，方程|x²-4|=lnx+4 有1實(shí)根．
綜上，方程|f（x）-g（x）|=2的實(shí)根個(gè)數(shù)為4．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性與根的個(gè)數(shù)判斷，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．