18.定義$\frac{n}{{P}_{1}+{P}_{2}+…+{P}_{n}}$為n個(gè)正數(shù)P1,P2…Pn的“均倒數(shù)”,若已知正整數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為$\frac{1}{2n+1}$,又bn=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$,則$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{10}_{11}}$=( 。
A.$\frac{1}{11}$B.$\frac{1}{12}$C.$\frac{10}{11}$D.$\frac{11}{12}$

分析 $\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$,可得a1+a2+…+an=n(2n+1),利用遞推關(guān)系可得an=4n-1.可得bn=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$=n.$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.再利用裂項(xiàng)求和方法即可得出.

解答 解:∵$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$,∴a1+a2+…+an=n(2n+1),
∴n≥2時(shí),an=n(2n+1)-(n-1)(2n-1)=4n-1.
n=1時(shí),a1=3,對(duì)于上式也成立.
∴an=4n-1.
∴bn=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$=n.
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.
則$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{10}_{11}}$=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{10}-\frac{1}{11}$=1-$\frac{1}{11}$=$\frac{10}{11}$.
故選:C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、裂項(xiàng)求和方法、新定義,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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7.已知向量|$\overrightarrow{OA}$|=3,|$\overrightarrow{OB}$|=2,$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$,若$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為60°,且$\overrightarrow{OC}$⊥$\overrightarrow{AB}$,則實(shí)數(shù)$\frac{m}{n}$的值為( 。
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