Question

13．2016年11月20日-22日在江西省南昌市舉行了首屆南昌國際馬拉松賽事，賽后某機(jī)構(gòu)用“10分制”調(diào)查了很多人（包括普通市民，運(yùn)動員，政府官員，組織者，志愿者等）對此項(xiàng)賽事的滿意度．現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，如圖莖葉圖記錄了他們的滿意度分?jǐn)?shù)（以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉）：

（1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
（2）若滿意度不低于9.5分，則稱該被調(diào)查者的滿意度為“極滿意”．求從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極滿意”的概率；
（3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)被調(diào)查群體的總體數(shù)據(jù)，若從該被調(diào)查群體（人數(shù)很多）任選3人，記ξ表示抽到“極滿意”的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是8.6，按從小到大排列，位于中間的兩位數(shù)是87，88，由此能求出眾數(shù)和中位數(shù)
（2）由莖葉圖可知，滿意度為“極滿意”的人有4人．設(shè)A_i表示所取3人中有i個(gè)人是“極滿意”，至多有1人是“極滿意”記為事件A，p（A）=p（A₀）+p（A₁）；
（3）從16人的樣本數(shù)據(jù)中任意選取1人，抽到“極滿意”的人的概率為$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$，故依題意可知，從該顧客群體中任選1人，抽到“極滿意”的人的概率p=$\frac{1}{4}$．
由題可知ξ～B（3，$\frac{1}{4}$），即可求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是8.6，按從小到大排列，位于中間的兩位數(shù)是87，88，由此能得出眾數(shù)和中位數(shù)．眾數(shù)：8.6；中位數(shù)：8.75…2（分）                 
（2）由莖葉圖可知，滿意度為“極滿意”的人有4人．
設(shè)A_i表示所取3人中有i個(gè)人是“極滿意”，至多有1人是“極滿意”記為事件A，
p（A）=p（A₀）+p（A₁）=$\frac{{C}_{12}^{3}}{{C}_{16}^{3}}+\frac{{{C}_{4}^{1}C}_{12}^{2}}{{C}_{16}^{3}}=\frac{121}{140}$
（3）從16人的樣本數(shù)據(jù)中任意選取1人，抽到“極滿意”的人的概率為$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$，
故依題意可知，從該顧客群體中任選1人，抽到“極滿意”的人的概率p=$\frac{1}{4}$．
ξ的可能取值為0，1，2，3，
  p（ξ=0）=（$\frac{3}{4}$）³=$\frac{27}{64}$；  p（ξ=1）=${C}_{3}^{1}×\frac{1}{4}×（\frac{3}{4}）^{2}=\frac{27}{64}$；
p（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}×\frac{3}{4}=\frac{9}{64}$；p（ξ=3）=（$\frac{1}{4}$）³=$\frac{1}{64}$
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
p	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

Eξ=$0×\frac{27}{64}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{9}{64}+3×\frac{1}{64}=0.75$．
另解：由題可知ξ～B（3，$\frac{1}{4}$），所以Eξ=$3×\frac{1}{4}=0.75$

點(diǎn)評 本題考查了對于一組數(shù)據(jù)，通常要求的是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，題目分別表示一組數(shù)據(jù)的特征，這樣的問題可以出現(xiàn)在選擇題或填空題，屬于中檔題．