Question

5．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=\sqrt{3}+\sqrt{3}t\end{array}$（t為參數(shù)）．在以坐標(biāo)原點O為極點，x軸非負半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ-2$\sqrt{3}$ρsinθ+4=0．
（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點，求|OA|•|OB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=\sqrt{3}+\sqrt{3}t\end{array}$（t為參數(shù)）．消去參數(shù)t可得直線l的普通方程．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ-2$\sqrt{3}$ρsinθ+4=0，利用互化公式可得：曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）直線l的極坐標(biāo)方程是$θ=\frac{π}{3}$，代入曲線C的極坐標(biāo)方程得：ρ²-5ρ+4=0，可得|OA|•|OB|=|ρ_Aρ_B|．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=\sqrt{3}+\sqrt{3}t\end{array}$（t為參數(shù)）．
消去參數(shù)t可得直線l的普通方程是$y-\sqrt{3}=\sqrt{3}（x-1）$，即$y=\sqrt{3}x$．
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ-2$\sqrt{3}$ρsinθ+4=0，
利用互化公式可得：曲線C的直角坐標(biāo)方程是${x^2}+{y^2}-4x-2\sqrt{3}y+4=0$，即${（x-2）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=3$．
（Ⅱ）直線l的極坐標(biāo)方程是$θ=\frac{π}{3}$，代入曲線C的極坐標(biāo)方程得：ρ²-5ρ+4=0，
所以|OA|•|OB|=|ρ_Aρ_B|=4．

點評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．