Question

20．某市政協(xié)課題組成員為了解中學(xué)生的身體素質(zhì)情況，決定在該市高二的14400名男生和9600名女生中按分層抽樣的方法抽取30名學(xué)生，對他們課余參加體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行問卷調(diào)查，將學(xué)生課余參加體育鍛煉時(shí)間的情況分三類：A類（課余不參加體育鍛煉），B類（課余參加體育鍛煉但平均每周參加體育鍛煉的時(shí)間不超過3小時(shí)），C類（課余參加體育鍛煉且平均每周參加體育鍛煉的時(shí)間超過3小時(shí)），調(diào)查結(jié)果如表：

	A類	B類	C類
男生	5	x	5
女生	y	5	3

（1）求出表中x、y的值；
（2）根據(jù)表格統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“課余不參加體育鍛煉“與性別有關(guān)；

	男生	女生	總計(jì)
課余不參加體育鍛煉
課余參加體育鍛煉
總計(jì)

（3）從抽出的女生中再抽取3人進(jìn)一步了解情況，記X為抽取的這3名女生中A類人數(shù)和C類人數(shù)差的絕對值，求X的均值（即數(shù)學(xué)期望）．
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.01
k0	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （I）根據(jù)分層抽樣原理計(jì)算男女生人數(shù)，得出各類人數(shù)；
（II）列聯(lián)表計(jì)算k²，根據(jù)附表數(shù)值作出結(jié)論；
（III）根據(jù)組合數(shù)公式和古典概型概率公式計(jì)算概率，再得出均值．

解答 解：（I）設(shè)抽取的30人中，男女生人數(shù)分別為n₁，n₂，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}_{1}}{{n}_{2}}=\frac{14400}{9600}}\\{{n}_{1}+{n}_{2}=30}\end{array}\right.$，
∴n₁=18，n₂=12．
∴x=18-5-5=8，y=12-5-3=4．
（II）列聯(lián)表如下：

	男生	女生	總計(jì)
課余不參加體育鍛煉	5	4	9
課余參加體育鍛煉	13	8	21
總計(jì)	18	12	30

k²=$\frac{30×（5×8-13×4）^{2}}{18×12×9×21}$≈0.11＜2.706，
∴沒有90%的把握認(rèn)為“課余不參加體育鍛煉“與性別有關(guān)．
（3）X的可能取值0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{3}{+C}_{4}^{1}{C}_{5}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{7}{22}$．
則P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{1}{+C}_{4}^{1}{C}_{5}^{2}{+C}_{4}^{2}{C}_{3}^{1}+{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{5}{11}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}{C}_{5}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{9}{44}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{+C}_{3}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{44}$，
∴E（X）=0×$\frac{7}{22}$+1×$\frac{5}{11}$+2×$\frac{9}{44}$+3×$\frac{1}{44}$=$\frac{41}{44}$．

點(diǎn)評 本題考查了分層抽樣原理，獨(dú)立性檢驗(yàn)思想，離散型變量的均值，屬于中檔題．