Question

10．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x}{e^x}$，若不等式f（x）-a（x+1）＞0的解集中有且僅有一個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $[{\frac{1}{e^2}，\frac{1}{e}}]$
• B． $[{\frac{1}{e^2}，\frac{1}{e}}）$
• C． $[{\frac{2}{{3{e^2}}}，\frac{1}{2e}}]$
• D． $[{\frac{2}{{3{e^2}}}，\frac{1}{2e}}）$

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，作出f（x）與y=a（x+1）的圖象，根據(jù)圖象和整數(shù)解的個數(shù)判斷a的范圍．

解答 解：f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
∴當(dāng)x＜1時，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
作出y=f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

∵由f（x）-a（x+1）＞0僅有一個整數(shù)解得f（x）＞a（x+1）只有一整數(shù)解，
設(shè)g（x）=a（x+1），
由圖象可知：當(dāng)a≤0時，f（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立，不符合題意，
當(dāng)a＞0時，若f（x）＞g（x）只有1個整數(shù)解，則此整數(shù)解必為1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）＞g（1）}\\{f（2）≤g（2）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{e}＞2a}\\{\frac{2}{{e}^{2}}≤3a}\end{array}\right.$，解得$\frac{2}{3{e}^{2}}$≤a＜$\frac{1}{2e}$．
故選D．

點評 本題考查了不等式與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．