Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\frac{xlnx}{x-1}+ax-1$在x=2處的切線平行于直線y=（1-ln2）x．
（I）求a的值，并判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性．
（II）求證：$f（x）＞\frac{x-1}{{{x^2}+1}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（2），求出a的值，從而求出函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f（x）-$\frac{x-1}{{x}^{2}+1}$=$\frac{x}{x-1}$（lnx-$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$），令φ（x）=lnx-$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$+ax-1，
∴f′（x）=$\frac{x-1-lnx}{{（x-1）}^{2}}$+a，
∴f′（2）=1-ln2+a，
又∵在x=2處的切線平行于y=（1-ln2）x，故a=0，
∴f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$-1，f′（x）=$\frac{x-1-lnx}{{（x-1）}^{2}}$，
令g（x）=x-1-lnx，則g′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
∴x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，
故g（x）在（1，+∞）上遞增，
故x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＞g（1）=0，
即x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
故f（x）在（1，+∞）遞增；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f（x）-$\frac{x-1}{{x}^{2}+1}$=$\frac{xlnx}{x-1}$-$\frac{{x}^{2}+x}{{x}^{2}+1}$，
∴h（x）=$\frac{x}{x-1}$（lnx-$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$），
令φ（x）=lnx-$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$，
∴φ′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2x{（x}^{2}+1）-2x{（x}^{2}-1）}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$=$\frac{{{（x}^{2}-1）}^{2}}{{x{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
又∵x＞0，∴φ′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
故φ（x）在（0，+∞）遞增，又易知φ（1）=0，
故x∈（0，1）時(shí)，φ（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，φ（x）＞0，
又當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，$\frac{x}{x-1}$＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，$\frac{x}{x-1}$＞0，
故x＞0且x≠1時(shí)，h（x）＞0恒成立，
即當(dāng)x∈{x|x＞0且x≠1}時(shí)，f（x）＞$\frac{x-1}{{x}^{2}+1}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式問(wèn)題，是一道綜合題．