Question

3．某校的學(xué)生文娛團(tuán)隊(duì)由理科組和文科組構(gòu)成，具體數(shù)據(jù)如表所示：

組別	文科		理科
性別	男生	女生	男生	女生
人數(shù)	3	1	3	2

學(xué)校準(zhǔn)備從該文娛團(tuán)隊(duì)中選出4人到某社區(qū)參加大型公益活動(dòng)演出，每選出一名男生，給其所在的組記1分；每選出一名女生，給其所在的組記2分，要求被選出的4人中文科組和理科組的學(xué)生都有．
（I）求理科組恰好得4分的概率；
（II）記文科組的得分為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）基本事件總數(shù)：n=${C}_{4}^{1}{C}_{5}^{3}+{C}_{4}^{2}{C}_{5}^{2}$+${C}_{4}^{3}{C}_{5}^{1}$=120，“理科組恰好得4分“的選法有兩種情況：①從理科組中選取2男1女，再從文科組任選1人；②從理科組中選2名女生，再從文科組中任選2人．由此能求出理科組恰好得4分的概率．
（II）由題意知，文科組得分X的取值為1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）∵被選出的4人中文科組和理科組的學(xué)生都有，
∴基本事件總數(shù)：n=${C}_{4}^{1}{C}_{5}^{3}+{C}_{4}^{2}{C}_{5}^{2}$+${C}_{4}^{3}{C}_{5}^{1}$=120，
“理科組恰好得4分“的選法有兩種情況：
①從理科組中選取2男1女，再從文科組任選1人，共有：${C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}$=24種選法，
②從理科組中選2名女生，再從文科組中任選2人，共有：${C}_{2}^{2}{C}_{4}^{2}=6$種選法，
∴理科組恰好得4分的概率p=$\frac{24+6}{120}$=$\frac{1}{4}$．
（II）由題意知，文科組得分X的取值為1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{5}^{3}}{120}$=$\frac{3×10}{120}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{5}^{2}+{C}_{1}^{1}{C}_{5}^{3}}{120}$=$\frac{3×10+10}{120}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{5}^{1}+{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}{C}_{5}^{2}}{120}=\frac{5+3×10}{120}$=$\frac{7}{24}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{1}^{1}{C}_{5}^{1}}{120}=\frac{1}{8}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{1}{8}$

EX=$1×\frac{1}{4}+2×\frac{1}{3}+3×\frac{7}{24}+4×\frac{1}{8}$=$\frac{55}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、是中檔題．