Question

13．已知圓A：x²+y²+2x-15=0和定點(diǎn)B（1，0），M是圓A上任意一點(diǎn)，線段MB的垂直平分線交MA于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)N的軌跡為C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在定點(diǎn)R，使當(dāng)k變化時，總有∠ORP=∠ORQ？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓心A（-1，0），通過|NM|=|NB|，推出點(diǎn)N的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，c，即可求解橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)存在點(diǎn)R（t，0）滿足題設(shè)，聯(lián)立直線y=k（x-1）與橢圓方程$\frac{x^2}{4}+\frac{{y{\;}^2}}{3}=1$消y得（4k²+3）x²-8k²x+（4k²-12）=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理，通過直線RP與直線RQ的斜率之和為零，得到x₁y₂+x₂y₁-t（y₁+y₂）=0，即2kx₁x₂-（1+t）k（x₁+x₂）+2tk=0，推出t=4存在定點(diǎn)R（4，0）滿足題設(shè)．

解答 解：（Ⅰ）圓A：（x+1）²+y²=16，圓心A（-1，0），由已知得|NM|=|NB|，又|NM|+|NB|=4，所以|NA|+|NB|=4＞|AB|=2，所以由橢圓的定義知點(diǎn)N的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{{y{\;}^2}}{b^2}=1$，則2a=4，2c=2，
所以a²=4，b²=3，所以曲線C：$\frac{x^2}{4}+\frac{{y{\;}^2}}{3}=1$．
（Ⅱ）設(shè)存在點(diǎn)R（t，0）滿足題設(shè)，聯(lián)立直線y=k（x-1）與橢圓方程$\frac{x^2}{4}+\frac{{y{\;}^2}}{3}=1$消y得
（4k²+3）x²-8k²x+（4k²-12）=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則由韋達(dá)定理得${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$①，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$②，
由題設(shè)知OR平分∠PRQ?直線RP與直RQ的傾斜角互補(bǔ)，即直線RP與直線RQ的斜率之和為零，
即$\frac{y_1}{{{x_1}-t}}+\frac{y_2}{{{x_2}-t}}=0$，即x₁y₂+x₂y₁-t（y₁+y₂）=0，
即2kx₁x₂-（1+t）k（x₁+x₂）+2tk=0③，
把①、②代入③并化簡得$\frac{（t-4）k}{{4{k^2}+3}}=0$，即（t-4）k=0④，
所以當(dāng)k變化時④成立，只要t=4即可，
所以存在定點(diǎn)R（4，0）滿足題設(shè)．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查存在性問題的處理方法，考查分析問題解決問題的能力．