Question

20．拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，E是C的準(zhǔn)線上位于x軸上方的一點(diǎn)，直線EF與C在第一象限交于點(diǎn)M，在第四象限交于點(diǎn)N，且|EM|=2|MF|=2，則點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離為$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由題意可知丨FM丨=1，|EM|=2，丨EF丨=3，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求得p的值，由丨EN丨=2丨DN丨，根據(jù)拋物線的定義，即可求得丨DN丨=3，點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離為丨DN丨-$\frac{p}{2}$．

解答 解：過M，N做MH⊥l，ND⊥l，垂足分別為H，D，
由拋物線的定義可得丨FM丨=丨MH丨，丨FN丨=丨DN丨
|EM|=2|MF|=2，則丨FM丨=1，|EM|=2，丨EF丨=3，
∴∠EMH=$\frac{π}{3}$，∠MEH=$\frac{π}{6}$，
∴p=$\frac{3}{2}$，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=3x，
在Rt△EDN中，sin∠MED=$\frac{丨DN丨}{丨EN丨}$，
則丨EN丨=2丨DN丨，即丨EM丨+丨MF丨+丨DN丨=2丨DN丨，
則丨DN丨=3，
點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離為丨DN丨-$\frac{p}{2}$=3-$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$，
故答案為：$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，拋物線的定義，考查三角形的相似，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．