Question

10．已知函數f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{lnx，x＞0}\\{\frac{m}{x}，x＜0}\end{array}}$，若f（x）-f（-x）=0有四個不同的根，則m的取值范圍是（　　）

• A． （0，2e）
• B． （0，e）
• C． （0，1）
• D． （0，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 由函數圖象的對稱性可得f（x）-f（-x）在（0，+∞）上有兩解，分離參數得-m=xlnx，求出右側函數的單調性和極值即可得出m的范圍．

解答 解：∵f（x）-f（-x）=0有四個不同的根，
且y=f（x）與y=f（-x）的圖象關于y軸對稱，
∴f（x）=f（-x）在（0，+∞）上有2解，
即lnx=-$\frac{m}{x}$有2解，∴-m=xlnx有2解，
令g（x）=xlnx，則g′（x）=lnx+1，
∴當0＜x$＜\frac{1}{e}$時，g′（x）＜0，當x＞$\frac{1}{e}$時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調遞增，
當x=$\frac{1}{e}$時，f（x）取得極小值f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$．
作出g（x）的大致函數圖象如圖所示：

∵-m=xlnx有兩解，
∴-$\frac{1}{e}$＜-m＜0，即0＜m＜$\frac{1}{e}$．
故選D．

點評 本題考查方程的根與函數的圖象的關系，函數單調性判斷與極值計算，屬于中檔題．