Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a_n+5a_n+1=36n+18，n∈N*，且a₁=4．
（Ⅰ）寫(xiě)出{a_n}的前3項(xiàng)，并猜想其通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₃=a₃，求數(shù)列{n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)遞推公式求出a₂，a₃，猜想a_n=6n-2，
（II）先求出b_n，再根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列{n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵an+5an+1=36n+18，n∈N*，且a1=4，
∴a1+5a2=36+18，解得a2=10，
∴a2+5a3=36×2+18，解得a3=16，
猜想an=6n-2，
（Ⅱ）由題意可得b1=4，b3=16，
故數(shù)列{bn}的公比為q滿足q2=4，
又∵{bn}各項(xiàng)為正數(shù)，故q=2，bn=2n+1，
∴Tn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1，
∴2Tn=1×23+2×24+…+（n-1）×2n+1+n×2n+2，
∴-Tn=22+23+24+…+×2n+1-n×2n+2=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n×2n+2=-4-（n-1）2n+2，
∴Tn=4+（n-1）2n+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式，以錯(cuò)位相減法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．