Question

12．已知${（{\frac{5}{x}-\sqrt{x}}）^n}$展開式中，只有第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)為a，則$\int_1^{2a}{\frac{{{x^2}+1}}{x}}dx$=$\frac{3}{2}$+ln3．

Answer 1

分析 由題意結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可知二項(xiàng)展開式中僅有5項(xiàng)，則n可求，再根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)為a，再根據(jù)定積分計(jì)算即可

解答 解：由于${（{\frac{5}{x}-\sqrt{x}}）^n}$展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可得n=4，
則通項(xiàng)為C₄^r5^4-r（-1）^r•x${\;}^{\frac{3r}{2}-4}$，
令$\frac{3r}{2}$-4=2，
解得r=4，
∴展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)為a=C₄⁴5^4-4（-1）⁴=1，
∴$\int_1^{2a}{\frac{{{x^2}+1}}{x}}dx$=${∫}_{1}^{2}$（x+$\frac{1}{x}$）dx=（$\frac{1}{2}$x+lnx）${\;}_{1}^{2}$=$\frac{3}{2}$+ln2，
故答案為：$\frac{3}{2}$+ln3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用和定積分的計(jì)算，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．