Question

8．$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ），0≤α＜β≤2π，設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ：
①若|m$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow$|，（m＜0），則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的最小值$\frac{1}{2}$；
②若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow$且$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$，則$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$；
③若α+β=$\frac{π}{6}$，記f（α）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，則將f（α）的圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移$\frac{π}{6}$個單位后得到的函數(shù)是偶函數(shù)；
④已知$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，θ=$\frac{2π}{3}$，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動，且滿足$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，x，y∈R，則x+y∈[1，2]．
上述正確命題的序號為④．

Answer 1

分析 分別求得|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，由向量的平方即為模的平方，結(jié)合基本不等式可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最小值為1，即可判斷①；
由條件可得$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，即可判斷②；由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩角差的余弦公式，以及圖象變換和奇偶性的定義，即可判斷③；由向量加法的平行四邊形法則，可得0≤x，y≤1，且x+y≥1，再由向量的平方即為模的平方，結(jié)合基本不等式，即可得到x+y的范圍，即可判斷④．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ），可得|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，
對①，若|m$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow$|，（m＜0），可得（m$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²=3（$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow$）²，
即有m²+1+2m$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=3（1+m²+2m$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$），可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$[（-m）+（-$\frac{1}{m}$）]≥$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{（-m）•\frac{1}{-m}}$=1，
當(dāng)且僅當(dāng)m=-1，取得最小值1，故①錯；
對②，若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow$且$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$，可得$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=2$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{0}$，故②錯；
對③，若α+β=$\frac{π}{6}$，記f（α）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2cos（α-β）=2cos（2α-$\frac{π}{6}$），
將f（α）的圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移$\frac{π}{6}$個單位后得到y(tǒng)=2cos（2α+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=2cos（2α+$\frac{π}{6}$），
得到的函數(shù)不為偶函數(shù)，故③錯；
對④，$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，θ=$\frac{2π}{3}$，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動，且滿足$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
由向量加法的平行四邊形法則，可得0≤x，y≤1，且x+y≥1，$\overrightarrow{OC}$²=x²$\overrightarrow{OA}$²+2xy$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+y²$\overrightarrow{OB}$²
=x²+2xycos$\frac{2π}{3}$+y²=1，即為1=x²-xy+y²=（x+y）²-3xy；
則（x+y）²-1=3xy，由x+y≥2$\sqrt{xy}$（x=y取得等號），即xy≤$\frac{（x+y）^{2}}{4}$，即有（x+y）²-1≤$\frac{3}{4}$（x+y）²，
則（x+y）²≤4，即x+y≤2，即x+y的最大值為2，則x+y∈[1，2]，故④對．
故答案為：④．

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查向量的加法平行四邊形法則，以及基本不等式的運(yùn)用，考查化簡整理和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．