Question

8．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₉=18，則下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A． ${log_{\frac{1}{2}}}（{2^{a_3}}+{2^{a_7}}）$有最小值-3
• B． ${log_{\frac{1}{2}}}（{2^{a_3}}+{2^{a_7}}）$有最小值3
• C． ${log_{\frac{1}{2}}}（{2^{a_3}}+{2^{a_7}}）$有最大值-3
• D． ${log_{\frac{1}{2}}}（{2^{a_3}}+{2^{a_7}}）$有最大值3

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得${2}^{{a}_{3}}+{2}^{{a}_{7}}≥8$，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得答案．

解答 解：在等差數(shù)列{a_n}中由S₉=18，
得$\frac{9（{a}_{1}+{a}_{9}）}{2}=\frac{9}{2}（{a}_{3}+{a}_{7}）=18$，
∴a₃+a₇=4．
∵${2}^{{a}_{3}}+{2}^{{a}_{7}}≥2\sqrt{{2}^{{a}_{3}}•{2}^{{a}_{7}}}=2\sqrt{{2}^{{a}_{3}+{a}_{7}}}$=$2\sqrt{{2}^{4}}=8$．
∴${log_{\frac{1}{2}}}（{2^{a_3}}+{2^{a_7}}）$$≤lo{g}_{\frac{1}{2}}8=-3$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．