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設函數f（x）=
x+sinx
x
，g（x）=xcosx-sinx
（1）求證：當x∈（0，π]時，g（x）＜0；
（2）若存在x∈（0，π），使得f（x）＜a成立，求a的取值范圍．
考點：三角函數中的恒等變換應用,利用導數研究函數的單調性
專題：導數的概念及應用,導數的綜合應用,三角函數的圖像與性質
分析：（1）求出函數g（x）=xcosx-sinx的導函數，分析導函數在（0，π]上符號，進而判斷出g（x）在（0，π]上為減函數，進而得到g（x）＜g（0）=0；
（2）求出函數f（x）=
x+sinx
x
的導函數，分析導函數在（0，π]上符號，進而判斷出f（x）在（0，π]上為減函數，將存在性問題轉化為最值問題后，可得a的取值范圍．
解答： 證明：（1）∵g（x）=xcosx-sinx
∴g′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
∵x∈（0，π]，
∴g′（x）≤0恒成立，
∴g（x）=xcosx-sinx在（0，π]上為減函數，
故g（x）＜g（0）=0
（2）∵函數f（x）=
x+sinx
x
，
∴f′（x）=
xcosx-sinx
x2
，
∵x∈（0，π]，
∴f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）=
x+sinx
x
在（0，π]上為減函數，
當x=π時，f（x）取最小值1，
若存在x∈（0，π），使得f（x）＜a成立，
則a＞1
點評：本題考查的知識點是三角函數中的恒等變換應用，利用導數研究函數的單調性，是三角函數與導數的簡單綜合應用，難度中檔．
練習冊系列答案
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已知函數f（x）=1-2sin2
x
2
．
（Ⅰ）在區(qū)間[
π
2
，
π
2
]上任取x0，求滿足f（x0）≥
1
2
的概率；
（Ⅱ）若f（α）=
2
2
3
，α為第四象限角，求
sin(π-2α)+cos(π+α)
tanα
的值．

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3
3
-1，
3
-1]，求直線AB的傾斜角α的取值范圍．

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x=
3
2
cosθ
y=
1
2
sinθ
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x=1+t
y=1-t
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π
2
，
2π
3
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（Ⅱ）設函數g（x）=-x3-ax2+a-
a2
4
，若存在α，β∈（0，a]，使得|f（α）-g（β）|＜a成立，求實數a的取值范圍．

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x+1
-
1
2-x
}．

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BA
=
a
，
BC
=
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，則把向量
CD
用
a
，
b
表示，其結果為
 
．

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