Question

6．在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=$\sqrt{2}$a，點E在PD上，且PE：ED=2：1，面PAB∩面PCD=1．
（1）證明：l∥CD；
（2）在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）證明AB∥面PCD，又AB?面PAB，面PAB∩面PCD=l，即可得出結論；
（2）取棱PC的中點F，線段PE的中點M，連接BD．設BD∩AC=O．連接BF，MF，BM，OE．結合菱形的性質及三角形中位線定理及面面平行的判定定理可得平面BMF∥平面AEC，進而由面面平行的性質得到BF∥平面AEC．

解答 （1）證明：∵菱形ABCD，
∴AB∥CD，又AB?面PCD，CD?面PCD，
∴AB∥面PCD，又AB?面PAB，面PAB∩面PCD=l，
∴AB∥l，∴AB∥CD，∴l(xiāng)∥CD
（2）解：當F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC．
證明如下，如圖取PE的中點M，連結FM，由于M為PE中點，F(xiàn)為PC中點，
所以FM∥CE①
由M為PE中點，得$EM=\frac{1}{2}PE=ED$，知E是MD的中點，
連結BM、BD，設BD∩AC=O，因為四邊形ABCD是菱形，則O為BD的中點，
由于E是MD的中點，O是BD的中點，所以BM∥OE②
由①FM∥CE、②BM∥OE知，平面BFM∥平面AEC，
又BF?平面BFM，
所以BF∥平面AEC．

點評 本題考查的知識點是直線與平面平行的判定與性質，（2）的關鍵是證得平面BMF∥平面AEC．