Question

17．過拋物線y²=2px的焦點，傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l交此拋物線于A、B兩點．
（1）求直線l的參數方程；
（2）求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由拋物線方程可知焦點（$\frac{p}{2}$，0），及直線AB的斜率，求得AB的直線方程，轉化成參數方程；
（2）將直線方程代入拋物線方程，設出A和B點，根據韋達定理寫出x₁+x₂和x₁•x₂，代入弦長公式，即可求得|AB|．

解答 解：（1）拋物線y²=2px的焦點（$\frac{p}{2}$，0），
傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l：y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$）．
直線l的參數方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{p}{2}+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程代入到拋物線方程當中，得：3（x-$\frac{p}{2}$）²=2px，
整理得：3x²-5px+$\frac{3{p}^{2}}{4}$=0，
x₁+x₂=$\frac{5p}{3}$，x₁•x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴弦長|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{8p}{3}$．

點評 本題考查直線的參數方程及弦長，考查拋物線的性質及拋物線定義的運用，屬于中檔題．