分析 (1)求出函數(shù)的導數(shù),根據(jù)f′(1)=0,求出a的值即可;
(2)因為對任意m∈[1,e],直線PM傾斜角都是鈍角,所以問題轉(zhuǎn)化為導數(shù)值小于0恒成立的問題,對于導函數(shù)小于0在區(qū)間[1,e]上恒成立,則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,即函數(shù)f′(x)<0恒成立,通過化簡最終轉(zhuǎn)化為f(m)<1在區(qū)間[1,e]上恒成立,再通過研究f(x)在[1,e]上的單調(diào)性求最值,注意分類討論的標準的確定.
解答 解:(1)f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x)=2a(x+1)-4x,
若x=1是f(x)的極值點,
則f′(1)=4a-4=0,解得:a=1;
(2)∵對任意m∈[1,e],直線PM的傾斜角都是鈍角,
∴對任意m∈[1,e],直線PM的斜率小于0,即f(m)−1m<0,
∴f(m)<1,即f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值小于1,
又因為f′(x)=2ax2+2ax−4x,
令g(x)=2ax2+2ax-4=2a(x+12)2-a2-4,x∈[1,e],
①a≤0時,g(x)在[1,e]遞減,
g(x)max=g(1)=4a-4<0,
∴f(x)在[1,e]遞減,f(x)max=f(1)=4a<0<1,
故a≤0時,符合題意;
②a>0時,令g(x)=0,解得:x=√2a+14,
當√2a+14≤1即a≥83時,f(x)在[1,e]遞增,
f(x)max=f(e)=a(e+1)2-4<1,解得:a<5(e+1)2,
當√2a+14≥e即0<a≤84e2−1時,
f(x)在[1,e]遞減,f(x)max=f(1)=4a-4<1,
解得:a<54,而84e2−1<54,故a≤84e2−1,
當1<√2a+14<e時,f(x)在[1,√2a+14)遞減,在(√2a+14,e]遞增,
∴f(x)的最大值是f(1)或f(e),
綜上:a≤84e2−1.
點評 本題重點考查不等式恒成立問題的基本思路,一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,然后從函數(shù)的單調(diào)性入手分析,注意本題第二問討論時的標準,一般要借助于函數(shù)圖象輔助來解決問題.一方面利用了數(shù)學結(jié)合思想,同時重點考查了分類討論思想的應用,有一定難度.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 2x-y+1=0 | B. | x-y-4=0 | C. | x+y-2=0 | D. | x+y-4=0 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com