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12.已知函數(shù)f(x)=a(x+1)2-4lnx,a∈R.
(1)若x=1是f(x)的極值點,求a的值;
(2)已知點P(0,1)和函數(shù)f(x)圖象上動點M(m,f(m)),對任意m∈[1,e],直線PM傾斜角都是鈍角,求a的取值范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的導數(shù),根據(jù)f′(1)=0,求出a的值即可;
(2)因為對任意m∈[1,e],直線PM傾斜角都是鈍角,所以問題轉(zhuǎn)化為導數(shù)值小于0恒成立的問題,對于導函數(shù)小于0在區(qū)間[1,e]上恒成立,則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,即函數(shù)f′(x)<0恒成立,通過化簡最終轉(zhuǎn)化為f(m)<1在區(qū)間[1,e]上恒成立,再通過研究f(x)在[1,e]上的單調(diào)性求最值,注意分類討論的標準的確定.

解答 解:(1)f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x)=2a(x+1)-4x,
若x=1是f(x)的極值點,
則f′(1)=4a-4=0,解得:a=1;
(2)∵對任意m∈[1,e],直線PM的傾斜角都是鈍角,
∴對任意m∈[1,e],直線PM的斜率小于0,即fm1m<0,
∴f(m)<1,即f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值小于1,
又因為f′(x)=2ax2+2ax4x,
令g(x)=2ax2+2ax-4=2ax+122-a2-4,x∈[1,e],
①a≤0時,g(x)在[1,e]遞減,
g(x)max=g(1)=4a-4<0,
∴f(x)在[1,e]遞減,f(x)max=f(1)=4a<0<1,
故a≤0時,符合題意;
②a>0時,令g(x)=0,解得:x=2a+14
2a+14≤1即a≥83時,f(x)在[1,e]遞增,
f(x)max=f(e)=a(e+1)2-4<1,解得:a<5e+12,
2a+14≥e即0<a≤84e21時,
f(x)在[1,e]遞減,f(x)max=f(1)=4a-4<1,
解得:a<54,而84e2154,故a≤84e21,
當1<2a+14<e時,f(x)在[1,2a+14)遞減,在(2a+14,e]遞增,
∴f(x)的最大值是f(1)或f(e),
綜上:a≤84e21

點評 本題重點考查不等式恒成立問題的基本思路,一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,然后從函數(shù)的單調(diào)性入手分析,注意本題第二問討論時的標準,一般要借助于函數(shù)圖象輔助來解決問題.一方面利用了數(shù)學結(jié)合思想,同時重點考查了分類討論思想的應用,有一定難度.

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