Question

在正三棱柱ABC-中，AB==a，E、F分別是棱和上的點，且BE=a，CF=2a．

求證：平面AEF⊥平面ACF．

Answer 1

答案：略
解析：

證法1：如圖． ∵AB=BE=a，△ABE為等腰直角三角形， ∴AE=． 取CF的中點為G，連結EG，則BEGC為平行四邊形， ∴BC=EG=a． ∵BC⊥，∴EG⊥GF． ∴△EGF為直角三角形． ∵EG=GF=a，∴EF=． ∴△AEF為等腰三角形． 分別取AF和AC的中點M、N，則MN∥CF且MN==CF=a=BE． ∴四邊形BNME為平行四邊形，從而有EM∥BN． 由于側面⊥底面ABC，且兩個平面的交線為AC，BN⊥AC，BN平面ABC，∴BN⊥平面． 從而有EM⊥平面． 又EM平面AEF，∴平面AEF⊥平面， 即平面AEF⊥平面ACF． 要證平面平面ACF，只需平面ACF的一條垂線，又平面AEF∩平面ACF=AF，所以，這條垂線應垂直于AF，易證△AEF為等腰三角形，所以這條垂線也是AF邊上的中線． 證法2：如圖，BE=a，CF=2a，BE∥CF，延長FE，設FE的延長線與CB的延長線相交于點D，連結AD，則． ∴DB=BC=a=AB． ∴△ABD為等腰三角形，且∠ABD=120°． ∴∠DAB=∠BDA=30°． ∴∠DAC=90°，即DA⊥AC． 又∵FC⊥平面ACD，DA平面ACD，∴FC⊥DA． ∵AC∩FC=C，∴DA⊥平面ACF． 又DA平面AEF，∴平面AEF⊥平面ACF． 由于平面ABC⊥平面，因此，要證平面AEF⊥平面ACF，只需證明平面AEF與平面ABC的交線垂直于平面ACF即可．