Question

如圖，PA垂直⊙O所在平面ABC，AB為⊙O的直徑，PA=AB，BD=

1

4

BP，C是

AB

的中點．
（1）證明：BP⊥平面COD；
（2）求平面PAC與平面COD所成銳二面角的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由線面垂直得OC⊥PA，由等腰三角形性質(zhì)得OC⊥AB，從而OC⊥平面PAB，進而BP⊥OC，設BP的中點為E，連接AE由三角形中位線定理得OD∥AE，由等腰三角形性質(zhì)得AE⊥BP，從而BP⊥OC，由此能證明BP⊥平面COD．
（2）以A為原點，AC為x軸，過A平行于CB的直線為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，設PA=AB=2，分雖求出平面APC的法向量和平面COD的一個法向量，由此利用向量法能求出平面PAC與平面COD所成銳二面角的大小．

解答： （1）證明：∵PA⊥平面ABC，OC?平面ABC，∴OC⊥PA．
∵C是弧AB的中點，∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
又O是AB的中點，∴OC⊥AB．
又∵PA∩AB=A，∴OC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴BP⊥OC．
設BP的中點為E，連接AE，∵BD=

1

4

BP，∴OD∥AE，
∵PA=AB，∴AE⊥BP，∴BP⊥OC，
又CO∩OD=O，∴BP⊥平面COD．
（2）解：以A為原點，AC為x軸，過A平行于CB的直線為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標系，設PA=AB=2，
由題意得A（0，0，0），P（0，0，2），C（

2

，0，0），B（

2

，

2

，0），
平面APC的法向量

n

=（0，1，0），由BP⊥平面COD，得平面COD的一個法向量為

BP

=（-

2

，-

2

，2），
設平面PAC與平面COD所成銳二面角為θ，
cosθ=|cos＜

n

，

BP

＞|=|

n • BP

| n |•| BP |

|=|

- 2

8

|=

1

2

，
∴θ=60°，∴平面PAC與平面COD所成銳二面角的大小為60°．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運用．