Question

（1）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在坐標(biāo)軸上，離心率為

2

，且過點(diǎn)（4，-

10

）．求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知曲線C上任意一點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離比它到直線l：y=-2的距離小1．求曲線C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)雙曲線方程為x²-y²=λ，由雙曲線過點(diǎn)（4，-

10

），能求出雙曲線方程．
（2）由已知得點(diǎn)M的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l′為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出曲線C的方程．

解答： 解：（1）∵e=

2

，
∴可設(shè)雙曲線方程為x²-y²=λ．
∵雙曲線過點(diǎn)（4，-

10

），
∴16-10=λ，即λ=6．
∴雙曲線方程為x²-y²=6．
（2）∵點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離比它到直線l：y=-2的距離小1，
∴點(diǎn)M在直線l的上方，點(diǎn)M到F（0，1）的距離與它到直線l′：y=-1的距離相等，
∴點(diǎn)M的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l′為準(zhǔn)線的拋物線，
∴曲線C的方程為x²=4y．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程和曲線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意拋物線和雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用．