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【題目】已知橢圓：的離心率為．

（1）求橢圓的方程．

（2）設直線過點且與橢圓交于，兩點．過點作直線的垂線，垂足為．證明直線過定點．

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由離心率及可求得，得橢圓方程；

（2）當直線的斜率存在時，設，，．直線：，與橢圓方程聯(lián)立消元后應用韋達定理得，求出直線方程，再求出與交點的橫坐標，代入可得其為定值，得定點，直線的斜率不存在時，可直接求出直線方程，也過該定點，從而證得結論成立．

（1）解：由題意可得，解得，

所以橢圓的方程為．

（2）證明：①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，

不妨設，，，

此時，直線的方程為，所以直線過點．

②當直線的斜率存在時，設，，．直線：．

由得，

所以，．（*）

直線：，令，得，

所以．（**）

將（*）代入（**）可得．

所以直線過點．

綜上所述，直線過定點．

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.過頂點，的平面與棱，分別交于，兩點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：四邊形是平行四邊形；

（Ⅲ）若，試判斷二面角的大小能否為？說明理由.

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【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，M是PA上的點，為正三角形，，．

（1）求證：平面平面PAC；

（2）若，平面BPC，求證：點M為線段PA的中點．

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【題目】如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，．

（1）求證：平面．

（2）點在線段上運動，設平面與平面所成二面角的平面角為，試求的取值范圍．

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【題目】設函數．

（1）若在處取到極值，求，的值，并求的單調區(qū)間；

（2）若對任意，都存在（為自然對數的底數），使得成立，求實數的取值范圍．

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【題目】已知平面內兩個定點和點，是動點，且直線,的斜率乘積為常數，設點的軌跡為.

① 存在常數，使上所有點到兩點距離之和為定值；

② 存在常數，使上所有點到兩點距離之和為定值；

③ 不存在常數，使上所有點到兩點距離差的絕對值為定值；

④ 不存在常數，使上所有點到兩點距離差的絕對值為定值.

其中正確的命題是_______________.（填出所有正確命題的序號）

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【題目】某校從參加某次知識競賽的同學中，選取60名同學將其成績（單位：分.百分制，均為整數）分成，，，，，六組后，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題.

（1）求分數在內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；

（2）從頻率分布直方圖中，估計本次考試成績的眾數和平均數；

（3）若從第1組和第6組兩組學生中，隨機抽取2人，求所抽取2人成績之差的絕對值大于10的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，有下列四個結論：

①為偶函數；②的值域為；

③在上單調遞減；④在上恰有8個零點，

其中所有正確結論的序號為（ ）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

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【題目】已知四邊形為矩形, ,為的中點,將沿折起,得到四棱錐,設的中點為,在翻折過程中,得到如下有三個命題:

①平面，且的長度為定值；

②三棱錐的最大體積為；

③在翻折過程中，存在某個位置，使得.

其中正確命題的序號為__________．（寫出所有正確結論的序號）

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