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13.過拋物線C:y2=4x的焦點F作直線l交C于A,B兩點,則|AF|+2•|BF|的最小值是3+2$\sqrt{2}$.

分析 將直線方程,代入橢圓方程,利用韋達定理及拋物線的性質求得$\frac{1}{丨AF丨}$+$\frac{1}{丨BF丨}$=1,利用基本不等式的性質,即可求得|AF|+2•|BF|的最小值.

解答 解:拋物線C:y2=4x的焦點F坐標(1,0),準線方程為x=-1.
設過F點的直線方程為y=k(x-1),設A(x1,y1),B(x2,y2),
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-1)}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$,化簡后為:k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
則x1+x2=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$,x1x2=1,
根據拋物線性質可知,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1
∴$\frac{1}{丨AF丨}$+$\frac{1}{丨BF丨}$=$\frac{{x}_{1}+1+{x}_{2}+1}{({x}_{1}+1)({x}_{2}+1)}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{1}{x}_{2}+1}$=1,
∴$\frac{1}{{|{AF}|}}+\frac{1}{{|{BF}|}}=\frac{2}{p}=1$,
|AF|+2•|BF|=$({|{AF}|+2•|{BF}|})•({\frac{1}{{|{AF}|}}+\frac{1}{{|{BF}|}}})$=$3+2•\frac{{|{BF}|}}{{|{AF}|}}+\frac{{|{AF}|}}{{|{BF}|}}≥3+2\sqrt{2}$.
當且僅當$\frac{2丨BF丨}{丨AF丨}$=$\frac{丨AF丨}{丨BF丨}$時,即丨AF丨=1+$\sqrt{2}$,丨BF丨=$\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{2})}{2}$時,取等號,
∴|AF|+2•|BF|的最小值3+2$\sqrt{2}$,
故答案為:3+2$\sqrt{2}$.

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系,考查韋達定理,拋物線的性質以及基本不等式的性質,考查計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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