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13.過拋物線C:y2=4x的焦點F作直線l交C于A,B兩點,則|AF|+2•|BF|的最小值是3+22

分析 將直線方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理及拋物線的性質(zhì)求得1AF+1BF=1,利用基本不等式的性質(zhì),即可求得|AF|+2•|BF|的最小值.

解答 解:拋物線C:y2=4x的焦點F坐標(biāo)(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.
設(shè)過F點的直線方程為y=k(x-1),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立{y=kx1y2=4x,化簡后為:k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
則x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,
根據(jù)拋物線性質(zhì)可知,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1
1AF+1BF=x1+1+x2+1x1+1x2+1=x1+x2+2x1+x2+x1x2+1=1,
1|AF|+1|BF|=2p=1,
|AF|+2•|BF|=|AF|+2|BF|1|AF|+1|BF|=3+2|BF||AF|+|AF||BF|3+22
當(dāng)且僅當(dāng)2BFAF=AFBF時,即丨AF丨=1+2,丨BF丨=21+22時,取等號,
∴|AF|+2•|BF|的最小值3+22,
故答案為:3+22

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,拋物線的性質(zhì)以及基本不等式的性質(zhì),考查計算能力,屬于中檔題.

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