Question

20．如圖，拋物線C：y²=2px的焦點為F，拋物線上一定點Q（1，2）．
（1）求拋物線C的方程及準線l的方程；
（2）過焦點F的直線（不經(jīng)過Q點）與拋物線交于A，B兩點，與準線l交于點M，記QA，QB，QM的斜率分別為k₁，k₂，k₃，問是否存在常數(shù)λ，使得k₁+k₂=λk₃成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把Q（1，2）代入y²=2px，得2p=4，即可求拋物線C的方程及準線l的方程；
（2）把直線AB的方程y=k（x-1），代入拋物線方程y²=4x，并整理，求出k₁+k₂，k₃，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）把Q（1，2）代入y²=2px，得2p=4，所以拋物線方程為y²=4x，
準線l的方程為x=-1．
（2）由條件可設直線AB的方程為y=k（x-1），k≠0．
由拋物線準線l：x=-1，可知M（-1，-2k），又Q（1，2），所以${k_3}=\frac{2+2k}{1+1}=k+1$，
把直線AB的方程y=k（x-1），代入拋物線方程y²=4x，并整理，可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}，{x_1}{x_2}=1$，
又Q（1，2），故${k_1}=\frac{{2-{y_1}}}{{1-{x_1}}}，{k_2}=\frac{{2-{y_2}}}{{1-{x_2}}}$．因為A，F(xiàn)，B三點共線，所以k_AF=k_BF=k，
即$\frac{y_1}{{{x_1}-1}}=\frac{y_2}{{{x_2}-1}}=k$，
所以${k_1}+{k_2}=\frac{{2-{y_1}}}{{1-{x_1}}}+\frac{{2-{y_2}}}{{1-{x_2}}}=\frac{{2k{x_1}{x_2}-（{2k+2}）（{{x_1}+{x_2}}）+2k+4}}{{{x_1}{x_2}-（{{x_1}+{x_2}}）+1}}=2（{k+1}）$，
即存在常數(shù)λ=2，使得k₁+k₂=2k₃成立．

點評 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．