Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x（a∈R，e為自然對數(shù)的底）．
（1）當a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意的x₀∈（0，e]，在（0，e]上存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，
求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當a=1時，f（x）=x-1-2lnx，f′（x）=1-

2

x

=

x-2

x

．分別解出f′（x）＜0，f′（x）＞0，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）g′（x）=（1-x）e^1-x，分別解出g′（x）＞0，g′（x）＜0，即可得出函數(shù)g（x）的單調(diào)性極值與最值．因此函數(shù)g（x）在（0，e]上的值域為（0，1]．
當a=2時，不適合題意；當a≠2時，f′（x）=

(2-a)(x- 2 2-a )

x

，x∈（0，e]．由于在（0，e]上存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，可得：函數(shù)f（x）在（0，e]上不單調(diào)，于是0＜

2

2-a

＜e．
解得a＜2-

2

e

①，此時，當x變化時，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性極值與最值．由于x→0時，f（x）→+∞，f(

2

2-a

)=a-2ln(

2

2-a

)，f（e）=（2-a）（e-1）-2．由題意當且僅當滿足：f(

2

2-a

)≤0②，f（e）≥1③．再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=x-1-2lnx，f′（x）=1-

2

x

=

x-2

x

．
由f′（x）＜0，解得0＜x＜2；由f′（x）＞0，解得2＜x．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）．
（2）g′（x）=（1-x）e^1-x，
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當1＜x時，g′（x）＜0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∵g（0）=0，g（1）=1，1＞g（e）=e•e^1-e=e^2-e＞0，
∴函數(shù)g（x）在（0，e]上的值域為（0，1]．
當a=2時，不適合題意；
當a≠2時，f′（x）=

(2-a)(x- 2 2-a )

x

，x∈（0，e]．
∵在（0，e]上存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，
∴函數(shù)f（x）在（0，e]上不單調(diào)，∴0＜

2

2-a

＜e．
∴a＜2-

2

e

①，此時，當x變化時，列表如下：

x	(0， 2 2-a )	2 2-a	( 2 2-a ，e]
f′（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∵x→0時，f（x）→+∞，f(

2

2-a

)=a-2ln(

2

2-a

)，f（e）=（2-a）（e-1）-2．
由于對任意的x₀∈（0，e]，在（0，e]上存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，
當且僅當滿足：f(

2

2-a

)≤0②，f（e）≥1③．
令h（a）=a-2ln(

2

2-a

)，a∈(-∞，2-

2

e

)，h′（a）=

a

a-2

．
令h′（a）=0，解得a=0．
當a∈（-∞，0）時，h′（a）＞0，函數(shù)h（a）為增函數(shù)；
當a∈(0，2-

2

e

)時，h′（a）＜0，函數(shù)h（a）為減函數(shù)．
∴當a=0時，函數(shù)h（a）取得極大值即最大值，h（0）=0．即②式在a∈(-∞，2-

2

e

)恒成立．
由③式解得a≤2-

3

e-1

，④．
由①④可得：當a∈(-∞，2-

3

e-1

]時，對任意的x₀∈（0，e]，在（0，e]上存在兩個不同的
x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法與恒成立問題等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．