Question

已知函數(shù)y=f（x），若在區(qū)間（-2，2）內(nèi)有且僅有一個(gè)x₀，使得f（x₀）=1成立，則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)M．
（Ⅰ）若f（x）=sinx+2，判斷f（x）是否具有性質(zhì)M，說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=x²+2mx+2m+1具有性質(zhì)M，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f（x）=sinx+2具有性質(zhì)M．若存在x₀∈（-2，2），使得f（x₀）=1，解方程求出方程的根，即可證得；
（Ⅱ）依題意，若函數(shù)f（x）=x²+2mx+2m+1具有性質(zhì)M，即方程x²+2mx+2m=0在（-2，2）上有且只有一個(gè)實(shí)根．設(shè)h（x）=x²+2mx+2m，即h（x）=x²+2mx+2m在（-2，2）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．討論m的取值范圍，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可得到m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sinx+2具有性質(zhì)M．
理由：依題意，若存在x₀∈（-2，2），使得f（x₀）=1，
則x₀∈（-2，2）時(shí)有sinx₀+2=1，即sinx₀=-1，x₀=2kπ-

π

2

，k∈Z．
由于x₀∈（-2，2），所以x₀=-

π

2

．
又因?yàn)閰^(qū)間（-2，2）內(nèi)有且僅有一個(gè)x₀=-

π

2

．使得f（x₀）=1成立，
所以f（x） 具有性質(zhì)M；
（Ⅱ）依題意，若函數(shù)f（x）=x²+2mx+2m+1具有性質(zhì)M，
即方程x²+2mx+2m=0在（-2，2）上有且只有一個(gè)實(shí)根．
設(shè)h（x）=x²+2mx+2m，即h（x）=x²+2mx+2m在（-2，2）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
解法一：
（1）當(dāng)-m≤-2時(shí)，即m≥2時(shí)，可得h（x）在（-2，2）上為增函數(shù)，
只需

h(-2)＜0 h(2)＞0

解得

m＞2 m＞- 2 3

交集得m＞2．
（2）當(dāng)-2＜-m＜2時(shí)，即-2＜m＜2時(shí)，若使函數(shù)h（x）在（-2，2）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，需考慮以下3種情況：
（ⅰ）m=0時(shí)，h（x）=x²在（-2，2）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意．
（ⅱ）當(dāng)-2＜-m＜0即0＜m＜2時(shí)，需

h(-2)≤0 h(2)＞0

解得

m≥2 m＞- 2 3

交集得∅．
（ⅲ）當(dāng)0＜-m＜2時(shí)，即-2＜m＜0時(shí)，需

h(-2)＞0 h(2)≤0

解得

m＜2 m≤- 2 3

交集得-2＜m≤-

2

3

．
（3）當(dāng)-m≥2時(shí)，即m≤-2時(shí)，可得h（x）在（-2，2）上為減函數(shù)
只需

h(-2)＞0 h(2)＜0

解得

m＜2 m＜- 2 3

交集得m≤-2．
綜上所述，若函數(shù)f（x）具有性質(zhì)M，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤-

2

3

或m＞2或m=0；
解法二：
依題意，（1）由h（-2）•h（2）＜0得，（4-2m）（6m+4）＜0，解得m＜-

2

3

或m＞2．
同時(shí)需要考慮以下三種情況：
（2）由

-2＜-m＜2 △=0

解得m=0．
（3）由

-2＜-m＜0 h(-2)=0

解得

0＜m＜2 m=2

，不等式組無解．
（4）由

0＜-m＜2 h(2)=0

解得

-2＜m＜0 m=- 2 3

，解得m=-

2

3

．
綜上所述，若函數(shù)f（x）具有性質(zhì)M，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＜-

2

3

或m＞2或m=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷和求法，考查零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．