Question

8．設(shè)f（x）=$\sqrt{x}$的圖象在點（1，1）處的切線為l，則曲線y=f（x），直線l及x軸所圍成的圖形的面積為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程；根據(jù)定積分的幾何意義即可求出所圍成的圖形的面積．

解答 解：由f（x）=$\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
則切線l的斜率k=y′|_x=1=$\frac{1}{2}$，
切線l的方程為y-1=$\frac{1}{2}$（x-1）即y=$\frac{1}{2}$（x+1），
由x=0可得y=$\frac{1}{2}$；y=0可得x=-1．
所求的圖形的面積S=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$+${∫}_{0}^{1}$（$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$-$\sqrt{x}$）dx
=$\frac{1}{4}$+（$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{2}{3}$x${\;}^{\frac{3}{2}}$）|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，考查定積分的運用：求不規(guī)則圖形的面積，考查運算能力，屬于中檔題．