Question

設O₁，O₂，…，O_n，…是坐標平面上圓心在x軸非負半軸上的一列圓（其中O₁為坐標原點），且圓O_n和圓O_n+1相外切，并均與直線x+

3

y-2

3

=0相切，記圓O_n的半徑為R_n．
（Ⅰ）求圓O₁的方程；
（Ⅱ）求數(shù)列{R_n}的通項公式，并求數(shù)列{

3

3

R_n•log 

3

R_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列與解析幾何的綜合

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,直線與圓

分析：（Ⅰ）設圓O₁的方程為x²+y²=R₁²，由直線和圓相切的條件d=r，運用點到直線的距離公式可得半徑，即可得到圓的方程；
（Ⅱ）設直線x+

3

y-2

3

=0與x軸相交于A，直線與圓O_n切于點B_n，與圓O_n+1切于點B_n+1，運用直角三角形的性質和兩圓外切的條件可得數(shù)列{R_n}為首項為

3

，公比是

1

3

的等比數(shù)列，運用等比數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列求和的方法：錯位相減法，即可求得前n項和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）設圓O₁的方程為x²+y²=R₁²，
由直線和圓相切的條件可得R₁=

|0+0-2 3 |

12+( 3 )2

=

3

，
即圓O₁的方程為x²+y²=3；
（Ⅱ）設直線x+

3

y-2

3

=0與x軸相交于A，
直線與圓O_n切于點B_n，與圓O_n+1切于點B_n+1，
則tan∠O_nAB_n=

3

3

，即∠O_nAB_n=30°，
則|O_nA|=2|O_nB_n|=2R_n，|O_n+1A|=2R_n+1，
由于圓O_n和圓O_n+1相外切，
則|O_nO_n+1|=|O_nA|-|O_n+1A|=2（R_n-R_n+1）=R_n+R_n+1，
則有R_n+1=

1

3

R_n，
即有數(shù)列{R_n}為首項為

3

，公比是

1

3

的等比數(shù)列，
則R_n=

3

•（

1

3

）^n-1=(

1

3

)n-

3

2

，
記b_n=

3

3

R_n•log

3

Rn=（

1

3

）^n-1•（n-

3

2

）log

3

1

3

=-（2n-3）•（

1

3

）^n-1，
S_n=-[-1+1×

1

3

+3×（

1

3

）²+…+（2n-3）•（

1

3

）^n-1]，

1

3

S_n=-[-1×

1

3

+1×（

1

3

）²+3×（

1

3

）³+…+（2n-3）•（

1

3

）ⁿ]，
兩式相減可得

2

3

S_n=-[-1+2×

1

3

+2×（

1

3

）²+…+2×（

1

3

）^n-1-（2n-3）•（

1

3

）ⁿ]
=1-2×

1 3 ×[1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

+（2n-3）•（

1

3

）ⁿ=2n•（

1

3

）ⁿ．
則有S_n=n•（

1

3

）^n-1．

點評：本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式，以及數(shù)列的求和方法：錯位相減法，同時考查直線和相切的條件以及兩圓相外切的條件，考查運算能力，屬于中檔題．