Question

15．如圖，自圓O外一點(diǎn)P引圓O的切線，切點(diǎn)為A，M為AP的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M引圓的割線交圓O于B，C兩點(diǎn)，且∠BMP=120°，∠BPC=30°，MC=8．
（Ⅰ）求∠MPB的大小；
（Ⅱ）記△MAB和△MCA的面積分別為S_△MAB和S_△MCA，求$\frac{{{S_{△MAB}}}}{{{S_{△MCA}}}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由切割線定理，得MA²=MB•MC，再根據(jù)M為PA的中點(diǎn)，將MA換成MP，得到△PMB∽△CMP，從而∠MPB=∠MCP，最后在△CMP中利用內(nèi)角和為180°列式，可得∠MPB的大��；
（Ⅱ）證明△MAB～△MCA，可得$\frac{{{S_{△MAB}}}}{{{S_{△MCA}}}}=\frac{{M{A^2}}}{{M{C^2}}}$，即可求$\frac{{{S_{△MAB}}}}{{{S_{△MCA}}}}$．

解答 解：（Ⅰ）∵M(jìn)A是圓O的切線，MC是圓O的割線，∴MA²=MB•MC，
又∵M(jìn)為AP的中點(diǎn)，∴MA=MP，
∴MP²=MB•MC，且∠PMB=∠CMP，
∴△PMB～△CMP，∴∠MPB=∠MCP，
又∵∠MPB+∠MCP+∠CMP+∠CPB=180°，
且∠BMP=120°，∠BPC=30°，∴∠MPB=15°．
（Ⅱ）∵M(jìn)A是圓O的切線，∴∠MAB=∠ACM，
∴△MAB～△MCA，
∴$\frac{{{S_{△MAB}}}}{{{S_{△MCA}}}}=\frac{{M{A^2}}}{{M{C^2}}}$，
在△CMP中，MC=8，∠CPM=45°，∠PCM=15°，
由正弦定理得：$MP=4（\sqrt{3}-1）$，∵M(jìn)A=MP，∴$MA=4（\sqrt{3}-1）$，
∴$\frac{{{S_{△MAB}}}}{{{S_{△MCA}}}}=\frac{{M{A^2}}}{{M{C^2}}}=\frac{{{{[4（\sqrt{3}-1）]}^2}}}{8^2}=\frac{{2-\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出圓的切線和割線，在已知兩個(gè)角的度數(shù)情況下求未知角的度數(shù)，求$\frac{{{S_{△MAB}}}}{{{S_{△MCA}}}}$．著重考查了三角形的相似、切割線定理和三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，屬于中檔題．