Question

10．在極坐標系中，曲線C₁的極坐標方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，若以極點為原點，極軸所在直線為x軸建立直角坐標系，則C₁的直角坐標方程為y=x+2，；曲線C₂在直角坐標系中的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cost\\ y=2+2sint\end{array}$（參數t∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}$]），則C₂的直角坐標方程為x²+（y-2）²=4；C₁被C₂截得的弦長為4．

Answer 1

分析 曲線C₁的極坐標方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ-ρcosθ）$=$\sqrt{2}$，把$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$，代入即可得出直角坐標方程．曲線C₂在直角坐標系中的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cost\\ y=2+2sint\end{array}$（參數t∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}$]），利用cos²t+sin²t=1即可得出直角坐標方程．

解答 解：曲線C₁的極坐標方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ-ρcosθ）$=$\sqrt{2}$，
可得直角坐標方程：y=x+2；
曲線C₂在直角坐標系中的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cost\\ y=2+2sint\end{array}$（參數t∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}$]），
化為x²+（y-2）²=4，可得圓心C₂（0，2），半徑r=2．
由于圓心（0，2）滿足直線方程，因此：C₁被C₂截得的弦長為2r=4．
故答案分別為：y=x+2；為x²+（y-2）²=4；4．

點評 本題考查了直角坐標與極坐標的互化、參數方程化為普通方程、直線與圓相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．