Question

1．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+sin2θ}\\{y=2sinθ+2cosθ}{\;}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），若以該直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線N的極坐標(biāo)方程為：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（其中t為參數(shù)）．
（1）若曲線N與曲線M只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值；
（2）當(dāng)t=-4時(shí)，求曲線M上的點(diǎn)與曲線N上點(diǎn)的最小距離．

Answer 1

分析 （1）把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，曲線C的參數(shù)方程化為普通方程．曲線M與曲線N只有一個(gè)交點(diǎn)．分類討論：相切與相交時(shí)，結(jié)合圖形即可得出．
（2）當(dāng)t=-4時(shí)，求曲線M上的點(diǎn)與曲線N上點(diǎn)的最小距離就是對(duì)應(yīng)切線和直線x+y+4=0對(duì)應(yīng)的距離．利用平行線之間的距離進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵M(jìn)的方程是$\left\{\begin{array}{l}x=1+sin2θ\\ y=2sinθ+2cosθ\end{array}\right.$，消去參數(shù)θ，得y²=4x（0≤x≤2），
曲線N的方程ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
即x+y-t=0，
（1）曲線M與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)．
①相切時(shí)，將y=-x+t代入y²=4x（0≤x≤2），
得x²-（2t+4）x+t²=0只有一個(gè)解，
∴△=（2t+4）²-4t²=0得t=-2，
②?相交時(shí)，如圖：當(dāng)直線y=-x+t經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-2$\sqrt{2}$）時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件．
此時(shí)t=x+y=2-2$\sqrt{2}$，
當(dāng)直線y=-x+t經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，2$\sqrt{2}$）時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)，滿足條件．
此時(shí)t=x+y=2+2$\sqrt{2}$，
則此時(shí)若曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，
則2-2$\sqrt{2}$＜t≤2+2$\sqrt{2}$，
綜上：曲線M與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)t=-2或 2-2$\sqrt{2}$＜t≤2+2$\sqrt{2}$．
（3）當(dāng)t=-4時(shí)，直線方程為x+y+4=0，
由（1）知，當(dāng)y=-x+t與拋物線相切時(shí)t=-2，對(duì)應(yīng)的切線方程為x+y+2=0，
則曲線M上的點(diǎn)與曲線N上點(diǎn)的最小距離即為兩條平行線之間的距離，
即d=$\frac{|4-2|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、曲線C的參數(shù)方程化為普通方程、直線與拋物線相切問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．