Question

20．如圖，CA，CB分別與圓O切于A，B兩點，AE是直徑，OF平分∠BOE交CB的延長線于F，BD∥AC．
（1）證明：OB²=BC•BF；
（2）證明：∠DBF=∠AOB．

Answer 1

分析 （1）連接OC，運用切線的性質(zhì)，可得△OAC≌△OBC，結(jié)合內(nèi)角平分線的定義，可得∠FOC=90°，由直角三角形的射影定理，即可得證；
（2）由對角互補，可得四點C，A，O，B共圓，延長AC至M，運用兩直線平行的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：（1）連接OC，由CA，CB為切線，可得CA=CB，
OA=OB，OC=OC，
即有△OAC≌△OBC，
即有∠AOC=∠BOC，
又OF平分∠BOE交CB的延長線于F，
可得∠EOF=∠BOF，
則∠FOC=∠FOB+∠BOC=∠EOF+∠AOC=90°，
在直角三角形COF中，OB為斜邊CF上的高，
由射影定理，可得OB²=BC•BF；
（2）由∠CAO=∠CBO=90°，可得
四點C，A，O，B共圓，延長AC至M，
即有∠MCB=∠AOB，
由BD∥AC，可得∠DBF=∠MCB，
即有∠DBF=∠AOB．

點評 本題考查圓的切線的性質(zhì)、四點共圓的判定和性質(zhì)、直角三角形的射影定理的運用，考查推理和運算能力，屬于中檔題．