Question

【題目】已知P是圓F1：（x+1）2+y2＝16上任意一點(diǎn)，F2（1，0），線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓F1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）記曲線C與x軸交于A，B兩點(diǎn)，M是直線x＝1上任意一點(diǎn)，直線MA，MB與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為D，E，求證：直線DE過定點(diǎn)H（4，0）.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義即可求出點(diǎn)Q的軌跡方程；

（2）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，表示出直線MA的方程，與橢圓方程聯(lián)立可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三點(diǎn)共線的條件即可證出．

（1）由已知|QF1|+|QF2|＝|QF1|+|QP|＝|PF1|＝4，

所以點(diǎn)Q的軌跡為以為F1，F2焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，

故2a＝4，a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3

所以曲線C的方程為

（2）由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，m）

直線MA的方程為：

將與聯(lián)立消去y整理得：（4m2+27）x2+16m2x+16m2﹣108＝0，

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（xD，yD），則，

故，則

直線MB的方程為：y＝﹣m（x﹣2）

將y＝﹣m（x﹣2）與聯(lián)立消去y整理得：（4m2+3）x2﹣16m2x+16m2﹣12＝0

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（xE，yE），則，

故，則

HD的斜率為

HE的斜率為

因?yàn)?/span>k1＝k2，所以直線DE經(jīng)過定點(diǎn)H.